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Le phénomène des arcs-en-ciel est expliqué partout, à l’aide d’un petit schéma montrant la dispersion de la lumière dans une goutte d’eau.

L’idée physique à l’origine de ce schéma, c’est qu’une goutte d’eau se comporte comme un prisme en optique : la lumière blanche qui arrive au niveau de la goutte est composé de toutes les couleurs possibles. [à chaque couleur correspond une « longueur d’onde« ] En traversant la surface de séparation entre l’air et l’eau, les différentes couleurs sont déviées, dans des directions différentes, dépendantes de leurs longueurs d’onde [ce qui correspond aux phénomènes de réfraction et de dispersion de la lumière]. C’est un peu sommaire, comme explications, mais en allant voir les liens, on finit par y voir suffisamment clair.

Bref, à partir de la lumière blanche, du soleil, on obtient dans des directions différentes, toutes les couleurs de l’arc-en-ciel. CQFD ?

Hélas, ou tant mieux, les choses ne sont pas du tout aussi simple. Et avec mon collègue et ami Alex, nous avons passé des heures à discuter, modéliser (surtout lui, pour la modélisation !)  pour essayer de voir plus clair.

Premier point, le plus simple : l’ordre des couleurs de l’arc-en-ciel. Contrairement (apparemment seulement) à cette photo, l’ordre des couleurs de l’arc-en-ciel principal est, du bas vers le haut : rouge, orange,… jusqu’au violet. La contradiction n’est qu’apparente. En fait, il faut se rappeler que pour que  l’on  voit un « objet », en optique, il faut que de la lumière, que l’on modélise sous forme d’un « rayon » lumineux, parte de cet objet, et arrive jusqu’à notre oeil. Un arc-en-ciel est un objet « étendu », c’est à dire qu’on peut le voir comme un ensemble de point émettant de la lumière. Donc pour qu’on puisse le voir, il faut qu’un rayon lumineux provenant de chaque point, c’est-à-dire de chaque goutte d’eau soit intercepté par notre oeil. Ainsi, pour expliquer l’ordre des couleurs,  c’est un « mur » de goutte telle que celle présentée sur le schéma suivant qu’il  faut imaginer. Chaque goutte renvoie toutes les couleurs,mais notre oeil intercepte seulement une couleur par goutte, suivant sa position. Et dans ce cas, l’ordre des couleurs est bien respecté !

[Une question ouverte pour les matheux : peut-on parler de passer d’un espace à son « espace réciproque », dans  ce type de situation, où on passe d’un phénomène qui part d’une goutte pour émettre de la lumière dans toutes les directions, à la situation où on a une « infinité » de sources lumineuses qui émet de la lumière vers un seul point ? Je sais, ce  n’est pas très clair, mais cela me fait tellement penser aux dispositifs où la figure de diffraction est la transformée du dispositif diffractant…]

Voyons maintenant un GROS problème. les fameux 42° . Pour ceux qui ne sont pas encore au courant, l’angle formé entre les rayons provenant du soleil vers l’arc-en-ciel et ceux venant de l’arc jusqu’à l’observateur est d’environ 42°. On trouve par exemple ce type de schéma :

ou encore ça :

Là où le problème se pose, c’est qu’en fait, la goutte en entier est éclairée par le soleil. ET donc là où on dessine un rayon incident, il faudrait en dessiner une infinité, tous parallèles entre eux, arrivant sur toute une moitiée de goutte. Si on fait cela, grâce au logiciel Geogebra (et je tiens ici à exprimer mon profond respect à Alex qui a programmé cette situation), et on calcule les angles de sortie des rayons, on obtient ça :

Bref, chaque goutte renvoie, pour chaque couleur, des rayons lumineux avec des angles de – 42° à 42 ° environ avec les rayons issus du soleil. Si on en reste là, pas d’arc-en-ciel, mais juste finalement, de la lumière de toutes les couleurs à la fois (donc blanche), provenant du mur d’eau !

Il faut donc trouver une explication valable. On la trouve (ici par exemple, ou là et là), sans beaucoup d’explication autre que des calculs certes intéressants, mais qu’il est difficile de transposer dans la situation réelle.

Grâce à la simulation sur Geogebra qui a permis le schéma précédent, et en multipliant les rayons incidents sur toute la surface de la goutte, on peut y voir plus clair :

On peut voir assez nettement ici que lorsque la goutte est entièrement exposée à la lumière, il y a un effet de concentration des rayons au niveau des angles maximaux de déviation : certes, la sphère d’eau ré-émet dans dans toutes les directions, mais avec une intensité beaucoup plus importante dans 2 directions : environ -42 ° (celui-là, on ne le voit jamais, sauf en avion) et + 42 ° : c’est la direction de l’arc-en-ciel. Alex avait réalisé des calculs pour montrer à quel point l’effet de concentration était efficace, mais non seulement cela alourdirait beaucoup ce billet, mais en plus il les a égaré… [par contre, on les retrouve là]

Le schéma précédent est évidemment valable pour une seule couleur. Pour les autres, l’angle de sortie sera légèrement différent, toujours autour des fameux 42°, ce qui permet de ré-obtenir les schémas si habituels avec les rayons de chaque couleur dans une direction différente, comme le premier de cet article.

[Néanmoins, pour les matheux, (mais qui ont la flemme d’aller sur les sites que j’ai évoqué), l’idée du calcul est de trouver l’expression de la dérivée de l’angle de sortie en fonction de l’angle d’entrée. Elle s’annule pour environ 42°, et de plus reste proche de zéro sur une plage assez importante d’angle incident. D’où l’effet de « concentration ».]

Mais les rayons renvoyés dans toutes les directions se voient aussi, et sont responsables de l’impression de ciel très lumineux que l’on a en regardant l’arc-en-ciel. Sauf dans une zone, que l’on appelle la bande d’Alexandre. Je reviendrais dessus dans quelques lignes.

Ce travail sur Geogebra, Alex l’a aussi appliqué à la modélisation de la formation de l’arc-en-ciel secondaire. En fait, cet arc-en-ciel nettement moins visible est formé par les rayons qui font une réflexion de plus dans la goutte avant de sortir. Lors de cette réflexion supplémentaire (comme lors de n’importe quel phénomène de réflexion ou réfraction) une partie de l’énergie lumineuse est perdue (ou transmise dans une autre direction). Ce qui explique une luminosité moindre.

[A ce propos, l’angle d’incidence a aussi une influence sur l’énergie transmise. Et on peut donc imaginer dans quelle direction l’énergie transmise est la plus importante, « par rayon », ou plus scientifiquement correct, par unité de surface éclairée par le soleil. Il s’avère que les fameux 42° correspondent à une direction privilégiée d’un point de vue énergétique, mais l’écart avec les autres directions reste faible, ne permettant pas d’expliquer le phénomène d’arc-en-ciel. Je serais ravi de fournir la modélisation qu’a réalisé Alex à ce sujet à tout(e) curieux(se)]

Ainsi, pour expliquer l’existence de ce second arc-en-ciel, on peut obtenir le schéma suivant, où l’on voit les rayons émergents après 2 réflexions :

on remarque dans ce cas que la plupart des rayons issus de la goutte sont cette fois-ci, à cause de la réflexion supplémentaire dans la goutte, plutôt vers l’arrière. Avec toujours l’effet de concentration des rayons dans une direction privilégiée, ici environ 51°.

Il est intéressant de décortiquer, pour finir, le phénomène de la bande d’Alexandre. Il s’agit d’une bande plus sombre entre les arcs-en-ciel principal et secondaire (en dessous). Ça se voit vraiment très bien, pour peu qu’on y fasse attention :

[Au passage, on voit nettement sur cette photo les « arcs surnuméraires », juste en dessous de l’arc principal, mais qui sont dus à des phénomènes de type diffraction/interférence lumineuse.Explications par exemple ici]

En fait, le travail de modélisation permettant d’expliquer la zone d’ombre a déjà été présenté ici : il suffit de superposer les rayons issus de la goutte après une réflexion avec ceux issus de 2 réflexions :

On voit ici une petite zone dans laquelle la goutte ne renvoie pas de lumière du tout. Si on accumule pour toutes les gouttes du « mur d’eau », on s’aperçoit que pour une direction donnée, celle de l’observateur, les gouttes d’eau situées entre celles responsables des arcs-en-ciel secondaire et principal ne renvoie pas de lumière du soleil. D’où l’impression plus sombre du ciel à cet endroit. [Je n’ai pas réussi à faire une capture d’image suffisamment claire pour cela à l’aide de la simulation Geogebra,.. avec le mur de goutte, ça fait vraiment trop chargé…]

 

Bon. Nous voilà arrivé aux termes de ce billet. J’espère avoir été plus clair que d’autres sur ce sujet tellement vaste.

Evidemment, je souhaite remercier Alexandre pour tout son boulot (il ne s’est pas trop senti, finalement, pour la rédaction de l’article… ça sera pour la prochaine fois !)

N’hésitez pas à me demander de vous envoyer le fichier Geogebra de la simulation ! (dès que j’ai le temps, je vous l’incorpore directement dans l’article !)

A lire aussi:

• www.snastro.org/media/Arc-en-ciel.doc pour beaucoup d’explications poussées.
• Le sujet du concours de polytechnique 2008 (filière MP), sur tous les phénomènes liés aux arcs-en-ciel : j’ai pas eu le courage de le faire, mais c’est très agréable, et complet. ça serait étonnant qu’on ne puisse pas trouver le corrigé…