>Dés, shadoks, et probabilités…

> »Les shadoks avaient construit une fusée qui avait une chance sur 1 million de fonctionner. Ils se dépêchaient donc de rater les 999 999 premières fois  pour enfin réussir. D’où leur devise : plus on rate, plus on a de chance que cela réussisse… »
Cette devise, absurde par excellence, reste hélas, plutôt bien partagée. Combien de fois entend-on des adeptes de jeu de hasard déclarer qu’ils ont toujours perdu jusqu’alors, et qu’ils ne peuvent plus que gagner, ou que c’est sûr, le vent va tourner, maintenant qu’il a si longtemps soufflé dans le même sens (le mauvais bien sûr…). Ou alors cela fait 10 fois que l’on tente la même opération, qui a une chance sur 10 de marcher, donc ça ne peut que fonctionner !
Ce qui est dommage, c’est que ça ne marche pas du tout, mais alors… pas du tout.
Regardons de plus près, à l’aide tout d’abord d’une pièce.
On a une chance sur deux de tomber sur « pile ». Pour autant, si on la lance 2 fois, on a « seulement » 3 chances sur 4 d’avoir lors des 2 lancers au moins une « pile ». (Pour les calculs précis, voir plus bas…).

A l’aide d’un dé à 6 faces, et 6 lancers, la probabilité de tomber au moins une fois sur la face « 6 » tombe à  2 chances sur 3 environ.
Revenons à la fusée Shadok. En lançant un million de fois leur fusée, ces charmantes créatures obtiennent finalement une probabilité de 63 % de réussir. Et personne ne peut prédire quel est le lancer qui marchera !!

Pour aller plus loin maintenant :

• Quelle est la probabilité pour réaliser au moins une fois un évènement qui a une chance sur n de se produire, en essayant n fois ?
• Combien de fois faudra-t-il essayer pour avoir une probabilité de 90 %  que l’évènement se produise ?

                                                               

donc pour n lancer :                         

Du coup, la probabilité que l’évènement souhaité se produise au moins une fois, correspond au complémentaire :                        
                                                          

(On peut même maintenant s’amuser à calculer la probabilité limite si n tend vers l’infini…

Et à l’aide d’un petit développement limité de la fonction ln quand n tend vers l’infini, on obtient :

D’où, enfin,

Et pour la seconde question, la démonstration est assez simple, et on obtient, avec a le nombre d’essai minimal pour avoir 90 %  de résultat :

                                                                     

Tout ça pour dire, que les shadoks, pour avoir 9 chances sur 10 d’envoyer leur fusée, auraient dû essayer un peu plus de 2 millions 300000 fois…