>Dés, shadoks, et probabilités…

> »Les shadoks avaient construit une fusée qui avait une chance sur 1 million de fonctionner. Ils se dépêchaient donc de rater les 999 999 premières fois  pour enfin réussir. D’où leur devise : plus on rate, plus on a de chance que cela réussisse… »
Cette devise, absurde par excellence, reste hélas, plutôt bien partagée. Combien de fois entend-on des adeptes de jeu de hasard déclarer qu’ils ont toujours perdu jusqu’alors, et qu’ils ne peuvent plus que gagner, ou que c’est sûr, le vent va tourner, maintenant qu’il a si longtemps soufflé dans le même sens (le mauvais bien sûr…). Ou alors cela fait 10 fois que l’on tente la même opération, qui a une chance sur 10 de marcher, donc ça ne peut que fonctionner !
Ce qui est dommage, c’est que ça ne marche pas du tout, mais alors… pas du tout.
Regardons de plus près, à l’aide tout d’abord d’une pièce.
On a une chance sur deux de tomber sur « pile ». Pour autant, si on la lance 2 fois, on a « seulement » 3 chances sur 4 d’avoir lors des 2 lancers au moins une « pile ». (Pour les calculs précis, voir plus bas…).

A l’aide d’un dé à 6 faces, et 6 lancers, la probabilité de tomber au moins une fois sur la face « 6 » tombe à  2 chances sur 3 environ.
Revenons à la fusée Shadok. En lançant un million de fois leur fusée, ces charmantes créatures obtiennent finalement une probabilité de 63 % de réussir. Et personne ne peut prédire quel est le lancer qui marchera !!

Pour aller plus loin maintenant :

  • Quelle est la probabilité pour réaliser au moins une fois un évènement qui a une chance sur n de se produire, en essayant n fois ?
  • Combien de fois faudra-t-il essayer pour avoir une probabilité de 90 %  que l’évènement se produise ?
En proba, lorsqu’on est dans cette situation, on regarde plutôt la probabilité totale que l’évènement ne se produise jamais. Dans notre cas, à chaque lancer, la probabilité que l’évenement ne se réalise pas est de :
                                                               
donc pour n lancer :                         

Du coup, la probabilité que l’évènement souhaité se produise au moins une fois, correspond au complémentaire :                        
                                                          

(On peut même maintenant s’amuser à calculer la probabilité limite si n tend vers l’infini…

Et à l’aide d’un petit développement limité de la fonction ln quand n tend vers l’infini, on obtient :

D’où, enfin,

Et pour la seconde question, la démonstration est assez simple, et on obtient, avec a le nombre d’essai minimal pour avoir 90 %  de résultat :

                                                                     

Tout ça pour dire, que les shadoks, pour avoir 9 chances sur 10 d’envoyer leur fusée, auraient dû essayer un peu plus de 2 millions 300000 fois…

About Mr Pourquoi

Ce blog est né il y a quelques années du désir de parler des sciences, de toutes les sciences, depuis les plus insignifiants phénomènes qu’on peut rencontrer dans la vie courante, jusqu’aux sujets de recherche les plus pointus, particulièrement en chimie, et pharmaceutique.

Je suis agrégé de chimie, docteur en chimie organique, et actuellement prof en lycée en France, et aussi, (et surtout ! ) un père heureux d’une famille (très) nombreuse.

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2 Responses to >Dés, shadoks, et probabilités…

  1. Christophe says:

    >Oui, ou c'est comme les joueurs de Loto ou Euromillions qui analysent les fréquences de sortie des boules des tirages précédents, en pensant que cela va les renseigner sur le tirage suivant ….Au contraire cela fait que tous ces gens jouent les mêmes numéros, qui lorsqu'ils sortent rapportent peu car les gains sont divisés d'autant !

  2. Passion Mobile says:

    >C'est peut être hors sujet, mais construire une fusée, n'est pas seulement une question de hasard à mon avis. Quand on la construit et qu'elle ne fonctionne pas, on en retire l'expérience. Ce qui n'est pas exactement la même chose que le loto.Qui sais peut être qu'il n'y aura pas besoins autant d'essai. D'ailleurs on lance beaucoup plus de fusée qu'on ne gagne au loto…

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